1991年03月

1991年03月20日

気になる情報数学理論 数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」

気になる情報数学理論 数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」 

「情報数学」より、数学 整数論 (志村理論)にも興味が・・・・

整数論サマースクール
 
第1回『アイゼンシュタイン級数について』
1993年7月18日~7月21日、於 早稲田大学セミナーハウス(信濃追分)
世話人:伊吹山知義(阪大、理)、橋本喜一郎(早大、理工)
講演
保型形式と関数等式入門:上田 勝(奈良女子大、理)
アデールとカスプ入門:斎藤 裕(京大、人間環境)
p 進的 Eisenstein 級数について:小池 正夫(広大、理)
2次形式入門 I(Siegel 公式と Eisenstein 級数):荒川 恒男(立教、理)
2次形式入門 II(不定値2次形式と Eisenstein 級数):伊吹山 知義 (阪大、理)
L2(SL(2,R)/Γ) の離散スペクトルと保型形式 :高瀬 幸一(宮城教育大)
Eisenstein 級数の Fourier 展開について:久末 正樹(北大、理)
Eisenstein 級数と L 関数:菅野 孝史(広大、理)
GL(2) の trace formula:平賀 郁(京大、理)
Eisenstein 級数の諸相、特に Siegel-Weil 公式:高瀬 幸一(宮城教育大)
Higher Rank の Eisenstein series:池田 保(京大、理)
等質空間の Eisenstein 級数:広中 由美子(信州大、理)
 
第2回『志村多様体と保型形式 』
1994年7月15日~7月18日、於 三重県一志郡美杉村美杉ビレッジ 
世話人:池田 保(京大、理)、斎藤 裕(京大、人間環境)
講演
Abel 多様体とその虚数乗法:池田 保(京大、理)
Automorphic L-function:池田 保(京大、理)
Introduction to Shimura Varieties:藤原 一宏(名大、理)
志村多様体の Hasse-Weil L-関数:今野 拓也(東大、数理)
Period Integral について:吉田 敬之(京大、理)
不連続群の cohomology 入門:織田 孝幸(東大、数理)
 
第3回『等質空間と保型形式 』
1995年7月24日~7月27日、於 長野県山形村「スカイランドきよみず」
世話人:佐藤 文広(立教、理)
講演
球等質空間・対称空間入門 I:動機、例と構造:佐藤 文広(立教、理)
球等質空間・対称空間入門 II:対称空間の有理点のカルタン分解 (p 進体の場合):広中 由美子(信州大、理)
球等質多様体上の調和解析入門:小林 俊行(東大、数理)
実調和解析と保型形式 :落合 啓之(立教、理)
Rankin-Selberg Method:基本的な例:高野 啓児(阪大、理)
保型 L 関数と Rankin-Selberg method II:球等質空間と Rankin-Selberg convolution:村瀬 篤(京都産業大、理)
Distinguished 表現と Langlands' functoriality:今野 拓也(東大、数理)
Functoriality for distinguished representations and the relative trace formula:宇澤 達(東北大、理)
 
第4回『Weil 表現入門』
1996年8月6日~8月10日、於 山梨県河口湖「セミナープラザロイヤルフジ」
世話人:荒川 恒男(立教、理)、高瀬 幸一(宮城教育大)
講演
Theta 級数の背景:高瀬 幸一(宮城教育大)
Reductive Lie Group の表現論入門:平賀 郁(京大、理)
Weil 表現の構成:木内 敬(京大、理)
Weil 表現と古典的 Theta 級数:高瀬 幸一(宮城教育大)
Reductive Dual Pair と Weil 表現(一方が compact の場合): 西山 享(京大、総合人間)
Dual Pair の分類:平賀 郁(京大、理)
G.Lion-M.Vergne 著「The Weil representation, Maslov index and Theta series」の紹介:荒川 恒男(立教、理)
Introduction to minimal representations:宇澤 達(東北大、理)
Howe duality の解説(noncompact case):松本 久義(東大、数理)
局所 Howe 予想の証明(p-進体の場合):渡部 隆夫(阪大、理)
Siegel-Weil の定理の概説:池田 保(京大、理)
付録、Weil constant の基本的性質:池田 保(京大、理)
院生デー講演
Symbolic Method 入門:吉川 慎二(阪大、理)
新谷-L 関数の q-analogue:上野 隆彦(中央大、理工)
佐藤-Tate 予想と symmetric power L-関数:松井 一(名大、多元数理)
O(1,m+1) 上の Eisenstein 級数について:平井 剛和(広大、理)
A Bound for the Ratio if Consecutive Eigenvalues of Laplacian for SL(2,Z):知念 宏司(神戸大、自然科学)
On Orbital Intagral:Maki Iisaka(トロント大)
Q 上定義された2次元 Abel 多様体の l 等分点のなす体の Galois 群に ついて:西来寺 文朗(阪大、理)
アフィン直線上の非 Galois な p 次不分岐被覆の構成について :菅沼 利行(中央大、理工)
標数 p の体上の代数曲線の (p,p)-Galois covering の、標数 0 の体上の 曲線の covering への lifting の構成について :伊藤 崇史(中央大、理工)
p-isogeny を持つ everywhere good な Q-curve の構成について :梅垣 敦紀(早稲田大、理工)

第5回『Siegel 保型形式 入門』
1997年7月14日~7月18日、於 山梨県山口湖「清風荘アネックス」
世話人:村瀬 篤(京都産業大、理)、広中 由美子(信州大、理)
講演
正則 Siegel 保型形式 入門 I:上田 勝(奈良女子大、理)
正則 Siegel 保型形式 入門 II :荒川 恒男(立教、理)
Sp(n,Z) の Eisenstein 級数:その初等的側面:水本 信一郎(東工大、理)
群上の保型形式 :村瀬 篤(京都産業大、理)
Hecke 環と L 関数(2次 Siegel 保型形式 を中心として) :菅野 孝史(金沢大、理)
無限積による保型形式 の構成:池田 保(京大、理)
保型表現に Galois 表現を対応させる問題について:今野 拓也(九大、理)
非正則な調和的保型形式 ”入門”:織田 孝幸(東大、数理)
A survey on the new proof of Saito-Kurokawa lifting after Duke and Imamoglu:伊吹山 知義(阪大、理)
院生の時間
Siegel space の Satake compactification :山田 信一郎(中央大)
ある (p,p)-拡大の Greenberg 予想について:山本 現(早稲田大)
重さ半整数の Jacobi form から重さ整数の保型形式 への対応 :横井 克俊(名大)
modular 関数の特殊値による正規族の構成について:伊藤 剛司(早稲田大)
多重ゼータ値の関係式について:大野 泰生(阪大)
Sp(2,R) 上の Whittaker 関数から構成される Poicare 級数 :作農 弘典(阪大)
目で見る p-進数:佐々木 透(中央大)

第6回『楕円曲線とその Arithmetic Moduli』
1998年7月13日~7月17日、於 山梨県山口湖「清風荘アネックス」
世話人:橋本 喜一朗(早稲田大学、理工)、百瀬 文之(中央大学、理工)
講演
複素楕円曲線:伊藤崇史(中央大、理工)
楕円曲線概論:梅垣敦紀(早稲田大、理工)
楕円曲線の reduction について:加川貴章(早稲田大、理工)
楕円曲線の有理点、等分点、同種写像 ... 過去から現在へ --何が知られているか--:小川裕之(阪大大学院、理学研究科)
楕円曲線の岩澤理論について:栗原将人(都立大、理学研究科)
一変数保型形式 入門:角皆宏(上智大、理工)
Hecke Operator 入門:村林直樹(山形大、理)
C上のモジュラー曲線:日比野剛士(早稲田大、 理工学総合研究センター)
モジュラー曲線の Canonical Model:志村真帆呂(早稲田大、理工)
モジュラー曲線をめぐるいくつかの話題:柳井裕道(愛知工大、基礎教育系)
Q-曲線入門:長谷川雄之(早稲田大、理工)
楕円曲線の Arithmetic Moduli 入門:青木昇(立教大、理)
暗号理論紹介
虚数乗法を用いた安全な楕円・超楕円暗号系の構成法: 側高幸治、趙晋輝(中大、理工電子工学)、辻井重男(中大、理工情報工学)
超楕円曲線に基づく離散対数問題と公開鍵暗号系: 川白弘人(中大、理工情報工学)
計算量的に難しい問題と公開鍵暗号系: 村上恭通、大岸聖史(京都工芸繊維大)
School のアルゴリズムの概要について: 金山直樹(早稲田大、理工)、堀内啓次(京都工芸繊維大)
Moduli of Q-curve and QM-abelian surface:百瀬文之(中大、理工)
参考文献について

第7回『代数群の整数論入門』
1999年7月14日~7月17日、於 早稲田大学セミナーハウス(信濃追分)
世話人:渡部隆夫(阪大、理)、橋本喜一郎(早大、理工)、広中由美子(早大、教育)
講演
代数群の定義と初等的性質:織田孝幸(東大、数理)
絶対ルート系:井海寿俊(東北大、理)
相対ルート系:加藤信一(京大、総合人間科学)
線形代数群の Galois cohomology:森下昌紀(金沢大、理)
古典群の構成と構造:村瀬篤(京都産業大、理)
代数群の分類:渡部隆夫(阪大、理)
代数体上の例外 Lie 環の構成と分類について:伊吹山知義(阪大、理)
アデール群と近似定理:山崎愛一(京大、理)
Group over Z:森山知則(東大、数理)
Shch(G) について:小野孝(Johns Hopkins 大)
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フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、(xのn乗) + (yのn乗) = (zのn乗) となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
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やや専門的内容
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/689.html

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/conf/20150817.html

http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~narita/ss2011_proceedings.pdf

http://ntw.sci.u-toyama.ac.jp/ss2017/

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/index.html

https://core.ac.uk/download/pdf/42026066.pdf

ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。 
(世間では「谷山志村予想」だが、専門化の間では、「志村予想」である。)//////
以下、数学の学習テーマ?の予想?

「志村理論の研究」計画?

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整数論サマースクール「多重ゼータ値」
整数論サマースクール「楕円曲線とモジュラー形式の計算」
整数論サマースクール「保型形式のp進family入門」
整数論サマースクール「志村多様体とその応用」
整数論サマースクール 「非可換岩澤理論」
整数論サマースクール 「p 進簡約群の表現論入門」
整数論サマースクール 「Stark 予想」
整数論サマースクール 「保型形式のリフティング」
整数論サマースクール 「アーサー・セルバーグ跡公式入門」
整数論サマースクール 「l 進ガロア表現とガロア変形の整数論」
整数論サマースクール 「保型 L 函数」
整数論サマースクール 「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」
整数論サマースクール 「Diophantine Equations」
整数論サマースクール 「Hilbert 保型形式」
整数論サマースクール 「基本群と Galois 表現」
整数論サマースクール 「岩澤理論」
整数論サマースクール 「概均質ベクトル空間」
整数論サマースクール 「ゼータ関数」
整数論サマースクール 「半整数ウェイトの保型形式」
整数論サマースクール 「代数群の整数論入門」
整数論サマースクール 「楕円曲線とその Arithmetic Moduli」
整数論サマースクール 「Siegel 保型形式入門」
整数論サマースクール 「Weil 表現入門」
整数論サマースクール 「等質空間と保型形式」
整数論サマースクール 「志村多様体と保型形式」
整数論サマースクール 「アイゼンシュタイン級数について」
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・整数論全般
加藤 和也, 斎藤 毅, 黒川 信重, 数論1(Fermatの夢と類体論), 岩波.
黒川 信重, 斎藤 毅, 栗原 将人, 数論2(岩沢理論と保型形式), 岩波.

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 このころ、注目していた「数学・数理」関係で注目していた人物

「数学者中心」に記述!

17世紀生まれの日本の数学者[編集]

関孝和* (1642?-1708) : 和算家、筆算による代数計算、行列式の導入

19世紀生まれの日本の数学者[編集]

菊池大麓 (1855-1917) : 数学科最初の日本人教授、のちに東京帝国大学総長
藤沢利喜太郎 (1861-1933) : 2人目の教授、数学教育、本格・応用両面の西欧数学移入
林鶴一 (1873-1935)
吉江琢児 (1874-1947)
高木貞治* (1875-1960) : 類体論、近世日本初の世界的数学者
藤原松三郎 (1881-1946) : 「日本数学史」ご進講
窪田忠彦 (1885-1952) : 幾何学
園正造 (1886-1969) : 代数学
小倉金之助 (1885-1962) : 数学史、随筆家
掛谷宗一* (1886-1947) : 連立積分方程式、掛谷の定理
竹内端三 (1887-1945) ; 『関数論』
辻正次 (1894-1960)
吉田洋一 (1898-1987) : 『零の発見』<岩波新書>
末綱恕一 (1898-1970) : 解析的整数論

20世紀生まれの日本の数学者[編集]

岡潔* (1901-1978) : 多変数複素関数論。 多くの随筆を残した。
中村幸四郎 (1901-1986) : 位相幾何学の導入、数学史
正田建次郎* (1902-1977) : 抽象代数学。 皇后美智子の伯父
岡村博 (1905-1948) : 微分方程式論
南雲道夫 (1905-1995) : 解析学
弥永昌吉 (1906-2006) : 整数論。 優れた多くの弟子を育てた。
吉田耕作* (1909-1990) : 関数解析学

角谷静夫 (1911-2004) : 不動点定理
矢野健太郎 (1912-1993) ; 微分幾何学。 多くの数学専門書・啓蒙書で知られる。
伊藤清* (1915-2008) : 確率微分方程式
小平邦彦* (1915-1997) : 代数幾何学
古屋茂 (1916-1996) : 解析学
岩澤健吉 (1917-1998) : 整数論。 岩澤理論
浦太郎 (1920- ) : 力学系の関数解析
溝畑茂 (1924-2002) : 解析学 偏微分方程式
倉西正武 (1924- ) : 複素解析
竹内外史 (1926- ) : 数理論理学
一松信 (1926- ) : 関数論
鈴木通夫 (1926-1998) : 群論
永田雅宜 (1927-2008) : 代数幾何学。ヒルベルトの第14問題を否定的に解決した。
谷山豊 (1927-1958) ; 整数論・複素解析。谷山・志村予想
森毅 (1928-2010) ; 関数空間の解析。 数学・教育についての多数のエッセイで知られる。
佐藤幹夫 (1928- ) ; 超関数、代数解析学の創始
久保田富雄 (1930- ) : 整数論
志村五郎 (1930- ) : 整数論。 谷山・志村予想  志村理論

広中平祐* (1931- ) : 代数幾何学
荒木不二洋 (1932- ) : 数理物理学、場の量子論の代数的構造論
土井公二 (1934- ) : 整数論。土井ー長沼のリフト (志村理論の伝道師) 
伊原康隆 (1938- ) : 整数論

足立恒雄 (1941- ) : 代数的整数論、数学史
飯高茂 (1942- ) : 代数幾何学
藤原正彦 (1943- ) : 専門は数論。 エッセイスト、『国家の品格』<新潮新書>
齋藤恭司 (1944- ) : 複素解析学
秋山仁 (1946- ) : 専門はグラフ理論。 テレビにも出演
柏原正樹 (1947- ) : 代数解析学。 佐藤幹夫の弟子。
佐々木力 (1947- ) : 数学史・科学史
吉田敬之(1947- ) : 整数論
砂田利一 (1948- ) : 大域解析学
石井志保子 (1950- ) : 代数幾何学

中村隆 (1951- ) : 統計学の数理
大沢健夫 (1951- ) : 多変数関数論
森重文* (1951- ) : 代数幾何学
神保道夫 (1951- ) : 代数解析学。 佐藤幹夫の弟子。
肥田晴三 (1952- ) : 整数論。(肥田理論)
加藤和也* (1952- ) : 整数論
黒川信重 (1952- ) : 数論
小玉英雄 (1952- ) : 宇宙物理学理論(高次元統一理論)
ピーター・フランクル (1953- 、ハンガリー) 国際数学オリンピック、大道芸
根上生也 (1957- ) : 位相幾何学的グラフ理論
深谷賢治 (1959- ) : 幾何学

宍倉光弘 (1962- ) :力学系理論、複素関数論(ハウスドルフ次元が2であるというマンデルブロの予想を証明)
中島啓 (1962- ) : 幾何学
小林俊行 (1962- ) : 幾何学
隈部正博 (1962- ) : 数学基礎論
藤原一宏 (1964- ) : 数論幾何学
望月新一 (1969- ) : 数論幾何学

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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫) / 「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社

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文系用読者:「教育者」としてのあの頃の感覚として読む
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫)

整数に関する問題は、問題を理解するのはやさしいが解くのはとてつもな く難しいことが多い。この本の表題ともなっている「フェルマーの最終定理」 の証明もそのような整数問題の1つであり、アマチュア・プロを問わず 300 年もの間、多くの数学者の挑戦を退けてきた問題である。1995 年最終的に 証明を成し遂げた勝者はアンドリュー・ワイルズという数学者であった。し かし、その証明への取り組みは試練に満ちており、7年間の隠密行動、そし て1度は証明できたと発表して、その後証明に穴があることがわかり1年余 りの間、公にさられた状態での穴埋め作業の末ようやく証明完了というドラ マが書かれています。谷山、志村、岩澤、肥田といった日本人数学者もからみ、困難な問題にチャレンジする人間模様を描いた物語として、一読を。

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理系用読者:「数学者」としてのあの頃の感覚として読む
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【書名】「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
( フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書 )
( フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 )
( フェルマーの最終定理 文庫 フェルマーの最終定理 (新潮文庫) サイモン シン(著), 青木 薫 (翻訳) )

 

1993年6月23日に、プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言し、その後、証明の不備が見つかり、1年以上に苦考の末、1994年9月19日にその修正に成功したこの期間に、著者が証明の解説として数学セミナー読者向けに書いたものを集めたものである。厳密性はないが、極力丁寧に、正確に伝えようとする、著者の誠実さと、理解の深さが伝わってくる。原論文の 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras にも、整数論にも、非常に惹きつけられる内容だった。購入時にも読んだと思われるが、詳しく覚えていないところをみると、理解しようとはしていなかったのかもしれない。むろん、今回も十分な時間をかけて読んだとは言えないが。

以下は備忘録

「砂田利一『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』」(p.37)「ワイルス『ぼくは、フライとリベットの結果を知ったとき、風景が変化したことに気がついた。(中略)この時まで、フェルマの最終定理は、何千年間もそのまま決して解かれることがなく数学がほとんど注目することがない数論の他の[散発的かつ趣味的な]ある種の問題と同じようなものに見えていた。フライとリベットの結果によって、フェルマの最終定理は、数学が無視することのできない重要な問題の結果という形に変貌したのだ。(中略)ぼくにとって、そのことは、この問題がやがて解かれるであろうと言うことを意味していた』」(p.67)「清水英夫著『保型関数I, II, III』、志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』、Knapp『Elliptic curves』、河田敬義著『数論I, II, III』、藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』、上野謙爾著『代数幾何学入門』、J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』、土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』、肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』、吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義 ─』、N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』」(p.123,4)「田口雄一郎さんの手紙に『Deligne さんの家はこの道の始まりのところ、森の入り口にあります。Deligne さんといへども、森羅万象の真理の最奥に至る道のほんの入口のところにゐるに過ぎないといふ、これは自然による卓抜な比喩であると思われます。ところが、恐ろしいことに彼の子供たちは毎日この道を通って森のむかうの学校に通ってゐるらしいのです。』とありました。フェルマーからの350年は大進歩でしたが、人類が続いてゆけば、それは今後何千年の数学の序曲であり、何段も何段も自然の深奥への新しい段階があることでしょう。」(p.239)「ガウス『どのように美しい天文学上の発見も、高等整数論が与える喜びには及ばない』ヒルベルト『数論には古くからの問題でありながら、今日も未解決のものが少なくない。その意味で、多くの神秘を蔵する分野であるが、他方、そこで展開される類体論のような、世にも美しい理論がある』」(p.245)「岩澤健吉『代数体と、有限体上の一変数関数体は、どこまでも似ていると信じてよい』」(p.246)「志村五郎は『整数論いたる所ゼータ関数あり』と述べたが今その言葉に『ゼータ関数のある所 岩澤理論あり』と続けて考えたい」(p.261)『ゼータ関数のある所 肥田理論あり』ともいえる。

「フェルマーの最終定理」を理解したい人(参考 書籍紹介)

N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野謙爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義─』
砂田利一著『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』

原論文の
 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 
 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras


論文集 (志村五郎)
Collected Papers. I: 1954-1965 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95406-6.
Collected Papers. II: 1967-1977 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95416-5.
Collected Papers. III: 1978-1988 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95417-2.
Collected Papers. IV: 1989-2001 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95418-9.
など

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